片翼の天使 １６

a³-b³=65を因数分解してみると、(a-b)(a²+ab+b²)＝65である。この公式は高校生にならないと教わらない数学の公式である。まず、掛け算をして６５になる可能性がある掛け算はは以下の通り。

　5×13　13×5　-5×-13　-13×-5　1×65　65×1　-1×-65　-65×-1

の8通りだ。この時点で、少なくとも答えは8通り以下である。

まず、(a²+ab+b²)はa,bがどのような値の時も0以上であることが示せます。

a²+ab+b²=(a+b/2)²+3b²/4と一応変形できるらしく、2乗したものを二つ足しているため少なくとも数字は正の数になります。【負の数の2乗も正の数の2乗も確かに正の数となる。ちなみにだが、上からわかる通り０ではないらしい。】

よって、(a-b)(a²+ab+b²)は、

5×13　13×5　1×65　65×1のいずれかを計算したものを、文字でごまかしていると思っていればいい。ちなみに答えは、(a,b)=(4,-1),(1,-4)の一通りとなり、ほかの数字はすべて正の数の数にはならない。

以上である。これを四分で解いたあの二人はなかなかの超人であろう。